All-in-One WP Migration等のプラグインを使う手もあるけど、手動でやったほうがいざという時に助かります。

大まかな手順は2つ。
1　FTPソフトでファイルをダウンロード
2　phpMyAdminでデータベースをダウンロード

まずFTPでファイルをダウンロードしたら、その中にあるwp-config.phpを開きます。ここにデータベースのログイン情報があるので、それをもとにphpMyAdminにログインします。

ログインして、データベースをダウンロードします。エクスポートから詳細を選択。基本的にそのままでOK。「CREATE DATABASE / USE コマンドを追加する」にチェックがあったら外しておきましょう。

この2つがあればなんとかなります。

データベース名やユーザー名・パスワードが新しくなったら、wp-config.phpの該当箇所も変更します。
あとは、PHPのバージョンとか、合わせておいたほうがいいです。Wordpressのバージョンもるべく最新にしておいたほうがいいです。