All-in-One WP Migration等のプラグインを使う手もあるけど、手動でやったほうがいざという時に助かります。

大まかな手順は2つ。
1　FTPソフトでファイルをダウンロード
2　phpMyAdminでデータベースをダウンロード

まずFTPでファイルをダウンロードしたら、その中にあるwp-config.phpを開きます。ここにデータベースのログイン情報があるので、それをもとにphpMyAdminにログインします。

ログインして、データベースをダウンロードします。エクスポートから詳細を選択。基本的にそのままでOK。「CREATE DATABASE / USE コマンドを追加する」にチェックがあったら外しておきましょう。

この2つがあればなんとかなります。

復元して、データベース名やユーザー名・パスワードが新しくなったら、wp-config.phpの該当箇所も変更します。

あとは、PHPのバージョンも合わせておいたほうが問題が起きないです。
なので、PHPのバージョンと、Wordpressのバージョンはどちらも常に最新にしておいたほうがいいです。
（新しい環境で古いPHPが使えない場合もありますし、、、ただプラグインを沢山使っている場合は動くかどうか確認した方が良いです）